(R. Pakzad) - plan du cours :

Partie 1. Champs tensoriels et formes différentiels

Algèbre multilinéaire (dimension finie) : espace dual, tenseurs, tenseurs antisymétriques, espaces linéaires réels, structures du produit (produit tensotiel, produit extérieur,...)

Champs vectoriels, : espace tangent, la notion de dérivée d’une application et sa relation avec la matrice jacobienne, la dérivée de composition, structures régularièrs, champs vectoriels et équations différentielles, champs vectoriels en tant qu'opérateurs, crochet de Lie des champs vectoriels, crochet de Poisson.

Champs tensoriels et formes différentieles : constructions, opérations ponctuelles, dérivée extérieure, dérivée de Lie, métriques riemanniennes, changements de coordonnée (push-forward et pull-back), l’importance pour la défintion des notions globales

Intégration : Variétés, sous-variétés, immersions, submersions et plongements, orientation et forme de volume, variétés à bord, intégration sur les variétés à bord. théorème de Stokes, formes exactes et closes, le lèmme de Poincaré, divergence, rotationnel, théorèmes de divergence et de Stokes comme cas particuliers.

Partie 2. Structures géométriques et la géométrie différentiele :

Théorie des surfaces : rappel de courbure et torsion d’une courbe dans l’espace tri-d, la dérivée seconde d’une courbe sur une surface et la dérivée covariante, les géodésies, connections avec la mécanique newtonienne, courbure géodésique (notions intrinsèques et extrinsèques), courbures de Gauss (intrinsèque et extrinsèque), plongements isométriques, la seconde forme et l’application de Weingarten, théoréma égrégium, théorème de Gauss-Bonnet.

(J.-J. Alibert) - plan du cours :

0. Vocabulaire usuel en analyse fonctionnelle - Opérateur et fonctionnelles - Opérateur adjoint et fonctionnelle conjuguée. —————————————————————–

1. Espaces métriques complets - Point fixe (Banach-Picard) - Fermés emboités - Propriété de Baire - La méthode directe - Principe variationnel d’Ekeland.

2. Opérateurs linéaires et continues - Principe de la borne uniforme (Banach-Steinhaus) - Application ouverte - Continuité de l’opérateur inverse - Normes équivalentes - Graphe fermé.

3. Prolongement de fonctionnelle et séparation de convexes - Prolongement (Hahn-Banach) - Séparation large ou stricte des convexes - Critère de densité - Biconjuguée (Fenchel-Moreau).

4. Topologies faibles des espaces de Banach - Topologie faible étoile (Banach-Alaoglu Bourbaki)- Topologie faible et es- paces réflexif (Kakutani) -

5. Espaces de Hilbert - Représentation (Riesz-Fréchet) - Projection - Représentation (Stampacchia et Lax-Milgram) - Base hilbertienne (Bessel-Parseval) - Compacité faible (Bolzano-weierstrass) - Opérateur auto-adjoint compact.

6. Distributions - Distribution sur un ouvert de RN - Distribution à support compact - Représentation des distributions d’ordre zéro (Riesz-Markov).

7. Exemples d’espaces fonctionnels sur un ouvert de R - Dérivée première faible d’une fonction croissante - Fonctions à variation bornée - Dérivée seconde faible d’une fonction convexe - Fonctions absolu- ment continues - Espaces de Sobolev.

8. Espaces de Sobolev sur un ouvert de R^N - Injections continues (Sobolev) - Injections compactes (Rellich-Kondrachov) - Opérateurs de prolongement - Notion de trace - Exemples de problèmes aux limites.

(A. Panati) - plan du cours :

Partie I. rappel de mécanique newtonnienne: équation de Newton comme EDO, quantités mécaniques de base (énergie, moment, travail etc), constantes de mouvement, théorème de conservation de l'énergie, formulation lagrangienne de équation de Newton, principe de la moindre action, formulation hamiltonienne et conservation de l'énergie.

Partie II. Concept général de système dynamique et espaces de phases: variété différentiable, espace tangent et co-tangent, structure symplectique, forme symplectique des équation de Hamilton 

transformation canonique, flux hamiltonien, constantes de mouvement, Théorème de Noether.

(P. El Ketani) - plan du cours :

Rappels de théorie de la mesure, théorie de l’intégration (théorèmes de convergence) , décomposition, probabilité conditionnelle (théorème de Radon-Nykodym); décomposition de Lesbegue d'un mesure, mesure de Stieltjes.

Rappel de dénombrement (combinatoire), variables aléatoires continues, critères d’indépendance des variables aléatoires, convergences de variables aléatoires, vecteurs gaussiens, théorème limites: loi de grands nombres, central limite, introduction aux grand déviations.

(C. Galusinski) - L'objectif global est de doter les étudiants des compétences nécessaires pour résoudre numériquement une gamme variée de problèmes mathématiques et scientifiques, tout en leur fournissant une base solide en algèbre linéaire et en analyse numérique.

Plan du cours :

1) Equations Différentielles Ordinaires :

a) EDO linéaire exacte. TP sympy

b) Approximation d'un problème de Cauchy. TP : schémas classiques par formules de quadrature + scipy

c) Approximation d'un problème aux limites 1D par Différences Finies.

2) Algèbre linéaire numérique

a) systèmes creux issus des DF sur problèmes aux limites 2D. TP : numpy

b) propriétés algébriques des matrices

c) Notion de convergence et vérification, technique débuggage

3) Fast Fourier Transform

a) Introduction à l'analyse de Fourier. Définition Fourier réel sur bases périodique et "Neumann" puis complexe classique. Propriétés d'orthoganilté...

b) EDP linéaire à coefficients constants: exemple chaleur. Applications à l'équation de la chaleur et résolution des EDO fréquence par fréquence, TP avec validation.

c) Convolution. TP application de la convolution sur images 2D

Anglais - 2 ECTS -- 18h

(F. Armao) - Ce cours a pour but de développer les cinq compétences d'anglais: compréhension orale, expression orale, interaction orale, compréhension écrite, expression écrite. Pour ce faire, il sera demandé aux étudiants d'effectuer des exposés oraux sur un sujet relatif à l'anglais scientifique (des précisions seront apportées au premier cours, auquel il est indispensable d'assister) et de débattre sur ces sujets. De même, le travail évoluera autour de thématiques scientifiques exploitées à travers le prisme de vidéo et de documents écrits en anglais. Une participation active et, à l'évidence, l'assiduité des étudiants sont nécessaires à la réussite de cette UE.

TICE - 1 ECTS -- 10h

(T. Champion) LATEX est un système de préparation de documents qui occupe une position dominante parmi les scientifiques pour la réalisation de livres, d'articles de recherche, de présentations vidéoprojetées, de polycopiés de cours, de feuilles d'exercices, de notes de travail. Le but de ce cours est de guider le nouvel utilisateur de LATEX pour une prise en main efficace. Le module est organisé en 4 séances de cours-TP de 2h30.

(W. Aschbacher) - plan du cours :

1. Groupes de Lie matriciels

Définitions, groupes classiques, compacité, connexité, homomorphisms

2. Algèbres de Lie et application exponentielle

Exponentielle matricielle, algèbres de Lie, algèbres de Lie abstraites, complexification

3. Algèbres vs. groupes de Lie

Formule BCH, homomorphismes de groupes et d’algèbres de Lie

4. Théorie élémentaire des représentations

Définitions, exemples, Lemme de Schur, somme directe de représentations

5. Représentations irréductibles de SU(2)

Construction de représentations de SU(2), représentations irréductibles de su(2), représentations de groupes vs. représentations d’algèbres de Lie.

(C-A. Pillet) - plan du cours :

Révision et éléments supplémentaires de théorie des distributions et transformation de Fourier.

Le formalisme mathématique de la mécanique quantique 

a) Les concepts de base de la mécanique quantique : dualité onde-corpuscule, quantification, Etats quantiques et premiers principes de la mécanique quantique, principe d’incertitude, mes observables quantiques et mesure spectrale , ’équation (non relativiste) de Schrödinger, spin et équation de Pauli, opérateurs unitaires et équivalence unitaire.

b) définition rigoureuse de mesure spectrale : introduction à la théorie spectrale (opérateurs bornés), décompositions du spectre et théorème de RAGE . Quelques exemples usuel.

(J-J. Alibert) - plan du cours :

Partie 1. Équations de Laplace et de Poisson

1.1. Équation de Laplace : les fonctions harmoniques, sous-harmoniques et sur-harminiques, les inégalités de valeur moyenne, principe du maximum et du minimum (fort et faible), l'inégalité de Harnack, représentation de green, l’intégral de poisson, théorèmes de convergence, les problèmes de dirichlet et de Neumanne, la méthode des fonctions sous-harmoniques,cla régularité des solutions faibles, interprétation variationnelle et existence par la méthode variationnellle.

1.2. Équation de Poisson : valeurs aux limites Dirichlets, Neumannes, solutions par la réprésentation de Green, les solutions faibles, interprétation variationnelle et existence par la méthode variationnellle, (théorie de régularité dans le cadre plus générale de Partie 2)

Partie 2. EDP et systèmes elliptiques

1.1. Systèmes elliptiques : opérateurs elliptiques, conditions aux limites, formulations variationnelles, conditions nécessaires de minimalité, existence des solutions, semi-continuité inférieure des fonctionnelles intégrales، notions diverses de convexité portant sur l’existence et la régularité

1.2. Théorie de la régularité (linéaire) : méthode nirenberg, estimations de la décroissance pour les systèmes à coefficients constants, régularité jusqu’au bord.

Références :

[1] Elliptic PDEs of Seconnd Order, Gilbarg & Trudinger

[2] Lecture Notes on Elliptic Partial Differential Equations -Luigi Ambrosio

(R. Pakzad) - plan du cours :

Partie 1. fondations mathématiques de la mécanique des milieux continus

1.1. Cinématique : Déformations, placements, et déplacements, théorème de Liouville, changement de variables, mouvement, description matérielle (lagrangienne) et spatiale (eulérienne), vitesse vue comme champ matériel, dérivée temporelle matérielle, dérivée de vitesse matérielle et non-linéarité des équations, tenseur des déformations linéaires et non-linéaires, conditions de compatibilité

1.2. Lois du bilan de matière : forces et leurs différents types (forces de contact, forces de volume), principe des puissances virtuelles, équilibre, théorème de Cauchy, tenseur des contraintes de Cauchy et exemples, conservation de la masse, conservation de quantité du mouvement, conservation du moment cinétique et symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy, formulation dans les référentiels, tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff. Thermoélasticité.

1.3 Loi de comportements (exemples : fluides idéaux ; matériaux élastiques), indifférence au référentiel (objectivité), isotropie

Partie 2. mécanique des solides et la théorie d’élasticité

Matériaux élastiques, équations du mouvement, hypothèse de potentiel pour le tenseur des contraintes PK, densité d’énergie stocké, propriétés de la densité d’énergie : indifférence au référentiel, principe de non-interpénétration des matériaux, exemples (caoutchouc, structures néo-hookéennes, cristallines, etc).

Les sujets de la deuxième partie seront rigoureusement explorés dans le cours de M2 ​​théorie de l’élasticité.

(T. Champion) - Dans ce module on aborde diverses méthodes mathématiques en lien avec l'optimisation. L'objectif est à la fois d'acquérir des bases théoriques solides (écriture des conditions d'optimalité, identification de la régularité des données, par exemple leur linéarité ou leur convexité, compréhension des défauts et avantages des différentes méthodes) et de savoir les mettre en oeuvre sur des exemples concrets en TP (programmation, utilisation de la bibliothèque Python Numpy). Cet enseignement couvre ainsi un large spectre de méthodes, de la résolution d'équations non linéaires, les problèmes d'optimisation convexes, non convexes, et l'optimisation sous contrainte.

1) Résolution de f(x)=0. Dans R : Newton, points fixes, critères de convergences. Dans R^N : Calcul de Jacobienne, TP numpy pour algos vectorisés

2) Optimisation convexe. Conditions d'optimalité. Méthodes de gradient, méthode de Newton. TP : numpy

3) Optimisation non convexe. Méthodes de gradients stochastiques et variantes. TP : numpy

4) Optimisation sous contrainte. TP : numpy

Anglais - 2 ECTS -- 18h

Voir semestre 1.

TER ou Stage à l'extérieur - 6 ECTS

Le TER (Travail Encadré de Recherche) dure 7 à 8 semaines. Il s’effectue sous la direction d'un chercheur ou enseignant-chercheur dans un laboratoire d’accueil (CPT, IMATH, etc.), dans une école d’ingénieurs (SeaTech, etc.) ou comme stage dans une entreprise extérieure.