Master 1ère année

Contenus des enseignements

Semestre 1

UE 1. Géométrie différentielle - 7 ECTS -- 60h

(J. Asch, C.-A. Pillet) - Théorie locale et globale des courbes, théorème de Hopf, théorie classique des surfaces, géométrie intrinsèque des surfaces, theorema egregium, géométrie et topologie, théorème de Gauss-Bonnet.

UE 2. Analyse fonctionnelle - 7 ECTS -- 54h

(P. Briet) - Espaces de Hilbert, projection orthogonale sur un convexe fermé et conséquences, base hilbertienne, convergence faible dans un espace de Hilbert et propriétés (Bolzano-Weierstrass faible), théorème de représentation de Riesz, opérateurs linéaires continus sur un Hilbert (bornés), lien avec la convergence faible, opérateurs autoadjoints, opérateur compact, limite en norme d'opérateurs de rang fini, éléments d'analyse spectrale, localisation du spectre et théorème de Lax-Milgram, diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints, espace de Banach, théorème de Hahn-Banach, formes linéaires continues dans un Banach, convergence faible, théorème de Banach-Steinhaus et ses conséquences, théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé.

UE 3. Probabilités - 7 ECTS -- 60h

(S. Vaienti) - Rappels espaces probabilisée et variables aléatoires: définitions générales, propriété de continuité monotone (Beppo Levi) des probabilités, lemme de Borel-Cantelli, théorème des classes monotones et des classes de Dynkin (enoncés seulement) et applications, conditions de passage de l'additivité à la sigma-additivité (ces notions sont plus à expliquer qu'à demontrer), proba discrètes (caracterisation) et proba absolument continues, fonctions de répartition d'une loi de probabilité et son identification à cette proba; variables aleatoires: definitions générales, v.a. discrete, v.a. absolument continues, fonctions de répartition, densité des v.a. absolument continues, inegalité de Chebychev, théoreme de representation de Skorokhod sur l'existence d'une v.a. à partir d'une loi donnée, calculs sur les lois de probabilité, fonctions caracteristique d'une loi de proba; vecteurs gaussiens; convergence des v.a.: convergence presque sûre, sa caracterisation, covergence en proba, convergence en loi, lien avec la convergence des fonctions de repartition et avec la convergence des fonctions caracteristiques, lemme de Portemanteau-Alexandrov et lemme de Levy-Cramer, théoreme de Paul Levy, theoreme de representation de Skorokhod sur le lien convergence en loi convergence en proba (ou presque sûre); esperance conditionnelle; théorèmes limites: lois des grands nombres et theoreme central-limite, grandes deviations pour les v.a. de Bernoulli; quelques notions sur les marches aléatoires et chaînes de Markov, construction du mouvement Brownien.

UE 4. Langue / TICE - 3 ECTS -- 28h

Anglais - 2 ECTS -- 18h

(F. Armao) - Ce cours a pour but de développer les cinq compétences d'anglais: compréhension orale, expression orale, interaction orale, compréhension écrite, expression écrite. Pour ce faire, il sera demandé aux étudiants d'effectuer des exposés oraux sur un sujet relatif à l'anglais scientifique (des précisions seront apportées au premier cours, auquel il est indispensable d'assister) et de débattre sur ces sujets. De même, le travail évoluera autour de thématiques scientifiques exploitées à travers le prisme de vidéo et de documents écrits en anglais. Une participation active et, à l'évidence, l'assiduité des étudiants sont nécessaires à la réussite de cette UE.


TICE - 1 ECTS -- 10h

(G. Facannoni, 2014/15) LATEX est un système de préparation de documents qui occupe une position dominante parmi les scientifiques pour la réalisation de livres, d'articles de recherche, de présentations vidéoprojetées, de polycopiés de cours, de feuilles d'exercices, de notes de travail. Les raisons de son omniprésence sont multiples: d'une part, sa capacité à mettre convenablement en forme les formules mathématiques les plus compliquées et la qualité professionnelle du résultat (tant pour le texte que les mathématiques), ce qui permet une publication directe; d'autre part, sa façon de concevoir un document structuré, en séparant son fond (le sens du texte) de sa forme (la mise en pages) et en déchargeant l'auteur de tâches fastidieuses (comme les références croisées), lui permettant ainsi d'atteindre une grande productivité; objectif de la formation: le but de ce cours est de guider le nouvel utilisateur de LATEX pour une prise en main efficace en fournissant un socle solide de connaissances de bases, si possible exempt de mauvaises habitudes, et en donnant des pistes pour être en mesure par la suite de continuer seuls l'apprentissage; programme pédagogique: prise de contact: installation, structure d'un fichier source, types de document, structure du document, gestion automatique de la table des matières et des références; mise en page: support de la langue française, listes à pouce, énumérations, descriptions, tableaux et figures (flottantes), notes marginales, notes de bas de page; mathématiques: mise en forme de formules mathématiques, rédactions de théorèmes, exercices; compléments: gestion automatique de la bibliographie, présentations vidéo-projetées, présentation de codes source, dessins avec LATEX; méthodes pédagogiques: le module est organisé en 4 séances de cours-TP de 2h30. En moyenne, sur chaque séance, une heure sera consacrée au cours et le restant à la pratique. Les notions fondamentales sont présentées sur des exemples typiques (rédaction d'un rapport de stage, d'une feuille d'exercice, préparation d'une présentation vidéo-projetée...).

UE 5. Initiation à la recherche - 6 ECTS -- 54h

(Y. Aubry) - Généralités sur les groupes: groupes abéliens de type finis, groupes agissant sur un ensemble, théorie de Sylow, groupes cycliques, groupe symétrique, groupes diédraux, groupes orthogonaux et unitaires, groupes topologiques; représentations linéaires des groupes finis: représentation de permutations, représentation régulière, représentations irréductibles, caractères d'une représentation, orthogonalité des caractères, théorèmes de Maschke et de Frobenius, formule de Burnside, applications.

(P. Seppecher) - Carrière des chercheurs en mathématique, structures de recherche, techniques de publication. Gestion d'un projet de recherche. Traitement d'un exemple complet : étude d'un problème de transport (bibliographie, méthodes d'optimisation, convexité, application de la théorie de la mesure, exemples pédagogiques, résolutions numériques, description de solutions auto-similaires, rédaction)


(W. Aschbacher, 2014/15) - Groupes de Lie matriciels: définitions, groupes classiques, compacité, connexité, homomorphismes; algèbres de Lie et applications exponentielle:
exponentielle matricielle, algèbres de Lie, algèbres de Lie abstraites,  complexification; algèbres vs. groupes de Lie: formule de Baker-Campbell-Hausdorff,  homomorphismes de groupes et d'algèbres de Lie; théorie élémentaire des représentations: définitions, exemples, lemme de Schur, somme directe de représentations; représentations irréductibles de SU(2): construction de représentations de SU(2), représentations irréductibles de su(2), représentations de groupes vs. représentations d'algèbres de Lie.

Semestre 2

UE 6. Distributions - 7 ECTS -- 54h

(W. Aschbacher) - Espaces de fonctions tests: espaces vectoriels topologiques localement convexes et séparés, convergence et continuité, espaces de fonctions tests les plus importants; distributions: définitions, convergence des suites de distributions; opérations élémentaires sur les distributions: dérivation, multiplication par une fonction, support et support singulier; convolution: convolution des fonctions, régularisation, convolution des distributions; solutions fondamentales: défintion, solutions fondamentales d'opérateurs différentiels importants; distributions tempérées: transformation de Fourier, distributions tempérées, transformations de Fourier pour les distributions tempérées, applications.


(G. Bouchitté, 2013/14) - Distributions sur R^N, formule des sauts, équations aux dérivées partielles; transformée de Fourier dans L^2, Plancherel; distributions périodiques, coéfficients de Fourier; initiation aux espaces de Sobolev; formulation variationnelle de problèmes aux limites et Lax-Milgram.

UE7. Approximation des EDP - 7ECTS -- 60h

(C. Galusinski) - Approximation des EDP elliptiques (différences finies, éléments finis, volumes finis); problèmes d'évolution et stabilité (problèmes paraboliques et hyperboliques); applications en restauration d'images.

UE 8. Recherche thème laboratoires - 6ECTS -- 60h

Optimisation - 3 ECTS -- 30h

(J.-J. Alibert) - Minimisation d'une fonctionnelle convexe (en particulier d'une fonctionnelle quadratique positive) sur une partie convexe fermée d'un espace de Hilbert, caractérisation des solutions par inégalité variationnelle; espaces de Lebesgue et de Sobolev (en dimension 1) possédant une structure Hilbertienne, étude complète d'une grande variété de problèmes d'optimisations.

Physique Mathématique - 3 ECTS -- 30h

(P. Briet) - Rappel sur la transformé de Fourier; axiomes de base de la mécanique quantique non relativiste: l'espace des états; notion d'opérateurs autoadjoints non bornés et observables; observables de position et d'impulsion; Hamiltonien quantique et exemples; notions élémentaires de la théorie des perturbations; système quantique unidimensionnel: constructions d'états liés et spectre discret, construction de paquet d'ondes et spectre continu, notion d'évolution.

(M. Rouleux) - Modèles de spins sur reseau en Mécanique Statistique rigoureuse.
Modèle du champ moyen pour des spins à valeurs scalaire sur Z^d: magnétisation, limite thermodynamique; Ensembles microcanonique: rappels sur les probabilités, postulat de Gibbs, entropie statistique, sous-additivité, concavité, critère du maximum d'entropie, fonction de partition, eléments de thermodynamique statistique; Autres exemples (cas discret): systèmes à deux niveaux, échanges d'énergie; Introduction au modèle d'Ising; Spins à symmétrie continue sur réseau 2-D: modèle de Villain, comportement à haute température, décroissance des corrélations; Introduction au cas quantique: entropie de Von Neumann.

UE 9. Modélisation / Enseignement- 3ECTS -- 36h

(T. Champion) - Optimisation numérique. Aspects théoriques et numériques, optimisation sans contraintes, optimisation avec contraintes, conditions d'optimalité, théorème de Kuhn-Tucker, algorithmes de descente : gradient, gradient conjugué, Newton, quasi-Newton.


(M. Ersoy - 2014/16) - Optimisation numérique: aspects théoriques et numériques, optimisation sans contraintes, optimisation avec contraintes, conditions d'optimalité, théorème de Kuhn-Tucker, algorithmes de descentes, gradient, gradient conjugué, Newton, quasi-Newton.

UE 10. TER / Langue - 7ECTS -- 22h

TER ou Stage à l'extérieur - 5 ECTS

Le TER (Travail Encadré de Recherche) dure 5-6 semaines. Il s’effectue sous la direction d'un enseignant-chercheur dans un laboratoire d’accueil (CPT, IMATH, etc.), dans une école d’ingénieurs (SeaTech, etc.) ou comme stage dans une entreprise extérieure.

Anglais - 2 ECTS -- 18h

Voir semestre 1.

 

UE10 : Le TER (Travail Encadré de Recherche) du Master 1 dure 5-6 semaines. Il s’effectue sous la direction d’un enseignant-chercheur dans un laboratoire d’accueil (CPT, IMATH, etc.), dans une école d’ingénieurs (SeaTech, etc.) ou comme stage dans une entreprise extérieure.