{"id":80,"date":"2016-07-07T11:23:39","date_gmt":"2016-07-07T09:23:39","guid":{"rendered":"http:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/?page_id=80"},"modified":"2018-12-05T16:22:13","modified_gmt":"2018-12-05T14:22:13","slug":"master-2e-annee-quad1218","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/fr\/master-2e-annee-quad1218\/","title":{"rendered":"Master 2\u00e8me ann\u00e9e – quadriennal 2012-2018"},"content":{"rendered":"

Contenus des enseignements<\/h2>\n

Semestre 3<\/em><\/h3>\n
\r\n
\r\n \r\n
\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE1. Th\u00e9orie des op\u00e9rateurs - 5 ECTS -- 20h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

(W. Aschbacher<\/a>) C*-alg\u00e8bres: d\u00e9finitions, analyse spectrale, repr\u00e9sentations et \u00e9tats;
\nW*-alg\u00e8bres: topologies d'op\u00e9rateurs, commutant;
\nth\u00e9orie de Tomita-Takesaki: op\u00e9rateurs modulaires, groupe modulaire.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE2. Analyse variationnelle des EDP - 5 ECTS -- 20h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

(A. Novotny<\/a>) Espaces de Hilbert, projection orthogonale, espaces duals et th\u00e9or\u00e8me de repr\u00e9sentation, convergence forte et faible, topologie faible, ensembles convexes ferm\u00e9s, lemme de Lax Milgram, th\u00e9or\u00e8me de Stampacchia, op\u00e9rateurs compacts, th\u00e9orie de Fredholm, espaces de Sobolev (densit\u00e9, injections continues et compactes, traces), \u00e9quations elliptiques du second ordre, formulation variationnelle, solutions faibles, in\u00e9galit\u00e9 d'\u00e9nergie, alternative de Fredholm, r\u00e9gularit\u00e9 de solutions faibles, principe du maximum, valeur propres et vecteurs propres, m\u00e9thode d'approximation de Galerkin.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE3. Syst\u00e8mes dynamiques - 5 ECTS -- 20h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

(S. Vaienti<\/a>) Equations differentielles ordinaires: \u00e9tude qualitative, \u00e9tude complet des syst\u00e8mes lin\u00e9aire en dimension quelqueconque, classifications des points d'\u00e9quilibre, stabilit\u00e9 locales des puits, mes versions simples du th\u00e9or\u00e8me de Hartman-Grobman, preuve du th\u00e9or\u00e8me de Poincar\u00e9-Bendixons, flots sur le t\u00f4re, quelques notions de calcul des bifurcations; syst\u00e8mes dynamiques discrets: ensemble non-errants, mesures invariantes, th\u00e9or\u00e8me de Krilov-Bogoliubov sur l'existence de mesures invariantes, r\u00e9currence: th\u00e9or\u00e8me de Poincar\u00e9,
\nquelques syst\u00e8mes simples: rotations irrationnelles, dynamique symbolique et d\u00e9calage de type fini, syst\u00e8mes de Bernoulli et de Markov avec les mesures correspondantes, preuve de leur invariance; ergodicit\u00e9 et m\u00e9lange: d\u00e9finitions, preuve du th\u00e9or\u00e8me De Birkhoff, ergodicit\u00e9 de quelques syst\u00e8mes simples: rotations, automorphisms du t\u00f4re, syst\u00e8mes fibr\u00e9s, syst\u00e8mes symboliques; m\u00e9lange; introduction \u00e0 la th\u00e9orie spectrale de l'op\u00e9rateur de Perron-Frobenius; entropie: exposants de Lyapunov, dimensions, esquisse de la th\u00e9orie de l'entropie et des exposants de Lyapunov en dimension 2, introductions \u00e0 l'analyse fractale et ses liens avec la dynamique; propri\u00e9t\u00e9s statistiques: th\u00e9or\u00e8mes limites, th\u00e9or\u00e8me de la limite centrale, grandes d\u00e9viations, th\u00e9orie des extr\u00eames; introduction aux syst\u00e8mes dynamiques al\u00e9atoires.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE4. Corps finis et leurs applications - 5 ECTS -- 20h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

(Y. Aubry<\/a>) Corps finis: rappels de th\u00e9orie des corps, constructions des corps finis, th\u00e9or\u00e8me de Wedderburn, endomorphisme de Frobenius, factorisation de polyn\u00f4mes, classes cyclotomiques, \u00e9quations sur les corps finis, symboles de Legendre et Jacobi, loi de r\u00e9ciprocit\u00e9 quadratique; g\u00e9om\u00e9trie alg\u00e9brique: espaces projectifs, courbes alg\u00e9briques projectives absolument irr\u00e9ductibles lisses d\u00e9finies sur un corps fini, genre d'une courbe plane, points rationnels, fonction z\u00eata, Hypoth\u00e8se de Riemann, bornes de Serre-Weil.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE5. Analyse spectrale - 5 ECTS -- 20h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

(P. Briet<\/a>) Op\u00e9rateurs dens\u00e9ment d\u00e9finis, op\u00e9rateursferm\u00e9s (fermeture), adjoint d'un op\u00e9rateur ferm\u00e9,
\nextension autoadjointe d'op\u00e9rateurs sym\u00e9triques, \u00e9l\u00e9ments spectraux pour un op\u00e9rateur
\nferm\u00e9 (autoadjoint); localisation spectrale des op\u00e9rateurs autoadjoints; spectre discret,
\ncaract\u00e9risation de Weyl du spectre essentiel; mesures spectrales: d\u00e9finition, th\u00e9or\u00e8me spectral, spectre absolument continu; op\u00e9rateurs relativement born\u00e9s, op\u00e9rateurs relativement compacts, th\u00e9or\u00e8me de stabilit\u00e9 de Weyl.<\/p>\n

(M. Rouleux) Th\u00e9orie des perturbations: stabilit\u00e9 du spectre d'un op\u00e9rateur auto-adjoint;
\ndimension finie: s\u00e9ries de Puiseux; g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s: perturbations r\u00e9guli\u00e8res, exemple de perturbation du spectre continu par un potentiel n\u00e9gatif de carr\u00e9 int\u00e9grable, perturbations singuli\u00e8res, exemple de l'oscillateur anharmonique; s\u00e9ries de perturbations (cas r\u00e9gulier): familles analytiques de type A, th\u00e9or\u00e8me de Kato-Rellich, perturbations de l'\u00e9tat fondamental, s\u00e9ries de Rayleigh-Schr\u00f6dinger, application au spectre de l'atome d'Helium; perturbations singuli\u00e8res: notion de s\u00e9rie asymptotique,
\ntechnique de Rayleigh-Ritz, retour \u00e0 l'oscillateur anharmonique.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE6. Analyse num\u00e9rique - 5 ECTS -- 20h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

(C. Galusinski<\/a>) On s'int\u00e9resse \u00e0 l'analyse num\u00e9rique de probl\u00e8me d'optimisation convexe sous contrainte (\u00e9galit\u00e9 et in\u00e9galit\u00e9) en dimension infinie. Apr\u00e8s des rappels et compl\u00e9ments de r\u00e9sultats d'existence aux probl\u00e8mes de minimisation, des algorithmes sont propos\u00e9s pour converger vers la solution du probl\u00e8me d'optimisation. Les \u00e9quations de la m\u00e9canique des fluides sous contraintes d'\u00e9coulement incompressible sont trait\u00e9es par la construction de Lagrangiens dont le point selle est la solution du probl\u00e8me. Les algorithmes issus de l'optimisation sont compar\u00e9s aux m\u00e9thodes de projection et des m\u00e9thodes hybrides sont alors construites. La mise en oeuvre num\u00e9rique fait l'objet de projets.<\/p>\n

\n

(C. Galusinski<\/a> - 2014\/15)
\nCe cours (Equations aux d\u00e9riv\u00e9es partielles de la Physique<\/i>) commun entre le Master de Math\u00e9matiques et l'\u00e9cole d'ing\u00e9nieurs SeaTech<\/i> aborde diverses EDP telles que les \u00e9quations de la chaleur, les \u00e9quations de la m\u00e9canique des fluides, les ondes de surface... Pour les diverses classes d'EDP rencontr\u00e9es (equations paraboliques, \u00e9quations hyperboliques, \u00e9quations dispersives), des m\u00e9thodes num\u00e9riques sont propos\u00e9es et impl\u00e9ment\u00e9es sur machine.<\/p>\n <\/div>\r\n <\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n <\/div>\n

Semestre 4<\/em><\/h3>\n
\r\n
\r\n \r\n
\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE7. Options - 10 ECTS -- 40h<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

Option 1 - 5 ECTS -- 20h<\/strong><\/p>\n

M\u00e9thodes de dualit\u00e9 en\u00a0 transport optimal <\/b><\/p>\n

(G.Bouchitte<\/a>) Le but de ce cours est d'illustrer comment l'analyse fonctionnelle classique (notamment l'analyse convexe et la th\u00e9orie de la dualit\u00e9) peut permettre de r\u00e9soudre certains probl\u00e8mes c\u00e9l\u00e8bres en transport optimal. Apr\u00e8s avoir rappel\u00e9 quelques outils de base en th\u00e9orie de la mesure et en analyse fonctionnelle, je vais consid\u00e9rer une classe de probl\u00e8mes de transport optimal dans R^d associ\u00e9s\u00a0 \u00e0 une fonction co\u00fbt c(x,y): R^d x R^d -> [0,+infty] et pour lesquels un principe de dualit\u00e9 sera \u00e9tabli. Dans le cas quadratique c(x,y)= |x-y|^2, nous obtiendrons l'existence et l'unicit\u00e9 d'un transport optimal retrouvant le c\u00e9l\u00e8bre th\u00e9or\u00e8me de factorisation polaire de Y.Brenier. Nous donnerons aussi une formulation dynamique de ce probl\u00e8me.
\nDans une seconde partie du cours , nous \u00e9tudierons le cout de Monge c(x,y)=|x-y| et donnerons quelques \u00e9l\u00e9ments de construction des solutions (sous forme de plans de transport).
\nSi le temps le permet des applications r\u00e9centes seront pr\u00e9sent\u00e9es: \u00a0 in\u00e9galit\u00e9s isop\u00e9rim\u00e9triques, optimation de forme, allocation optimale de ressources ...<\/p>\n

Option 2 - 5 ECTS -- 20h<\/strong><\/p>\n

M\u00e9thodes g\u00e9om\u00e9triques et topologiques en physique quantique.<\/strong><\/p>\n

L'objectif de ce cours est de fournir aux \u00e9tudiants quelques outils math\u00e9matiques utilis\u00e9s en physique quantique.<\/p>\n

\n

Probl\u00e8mes hyperboliques, volumes finis<\/strong><\/p>\n

(M. Ersoy<\/a>) Lois de conservation, analyse th\u00e9orique et num\u00e9rique d'\u00e9quations et syst\u00e8mes d'\u00e9quations hyperboliques (transport, Burgers, trafic, Saint-Venant, dynamique des gaz,...), existence et unicit\u00e9, solutions faibles, solutions faibles entropiques, th\u00e9or\u00e8me de Kruzkhov, conditions de saut de Rankine-Hugoniot, crit\u00e8re de Lax, probl\u00e8me de Riemann, sch\u00e9mas num\u00e9riques conservatifs, volumes finis d'ordre 1, stabilit\u00e9 num\u00e9rique, consistance, monotonie, TVD, entropie, convergence, solveur de Riemann exacte et approch\u00e9.<\/p>\n

Introduction aux m\u00e9thodes Monte-Carlo<\/strong><\/p>\n

(S. Maire<\/a> - 2014\/15) Concepts de base; rappels probabilit\u00e9s: loi des grands nombres, TCL; pr\u00e9sentation de la m\u00e9thode sur quelques exemples: calcul de volumes, d'int\u00e9grales, temps de sortie d'un graphe, options europ\u00e9ennes; g\u00e9n\u00e9rateurs al\u00e9atoires de diff\u00e9rentes lois: inversion, rejet; r\u00e9duction de variance, Quasi-Monte Carlo, quantification; m\u00e9thodes de Monte Carlo pour les diffusions; cha\u00eenes de Markov et diff\u00e9rences finies pour le Laplacien; \u00e9quation de Poisson en domaine born\u00e9: sch\u00e9ma d'Euler, marche sur les sph\u00e8res; diffusion plus g\u00e9n\u00e9rales, probl\u00e8mes d'\u00e9volution (\u00e9quation de la chaleur); \u00e9v\u00e9nements rares: m\u00e9thode de splitting pour le calcul d'\u00e9l\u00e9ments propres principaux.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE8. TER - 17 ECTS<\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

La dur\u00e9e du TER (Travail Encadr\u00e9 de Recherche) du M2 est de 3 mois. Il s\u2019effectue principalement dans un des deux laboratoires d\u2019accueil qui sont le CPT (sur le campus de La Garde et sur le campus de Luminy \u00e0 Marseille) et l\u2019IMATH (sur le campus de La Garde) ou, comme stage, dans une entreprise ext\u00e9rieure.<\/p>\n <\/div>\r\n \r\n

\r\n \r\n <\/i><\/span>\r\n <\/i><\/span>\r\n <\/span>\r\n UE9. Anglais scientifique - 3 ECTS -- 4h <\/span>\r\n <\/div>\r\n
\r\n

Dans le cadre du m\u00e9moire de TER, outre la lecture de documents scientifiques en anglais, l'\u00e9tudiant doit r\u00e9diger l'introduction de son m\u00e9moire en anglais, et faire une partie de son expos\u00e9 dans cette langue.<\/p>\n <\/div>\r\n <\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n <\/div>\n

Remarque UE7<\/h2>\n

Cette UE, typiquement constitu\u00e9e de deux parties, totalise 40 heures obligatoires. En fonction des deux parcours-types Physique math\u00e9matique<\/i> et Optimisation et analyse appliqu\u00e9e<\/i>, les cours correspondants peuvent se faire en commun avec, respectivement, le Master Physique th\u00e9orique et math\u00e9matique, physique des particules et astrophysique (P3TMA) d’Aix Marseille Universit\u00e9, avec le Master Math\u00e9matiques d’Aix Marseille Universit\u00e9 et de l’Universit\u00e9 de Nice, et avec l’\u00e9cole d’ing\u00e9nieurs SeaTech.<\/p>\n

Informations TER (UE8)<\/h2>\n

La dur\u00e9e du TER (Travail Encadr\u00e9 de Recherche) du M2 est de 3 mois. Il s\u2019effectue principalement dans un des deux laboratoires d\u2019accueil qui sont le CPT (sur le campus de La Garde et sur le campus de Luminy \u00e0 Marseille) et l\u2019IMATH (sur le campus de La Garde) ou, comme stage, dans une entreprise ext\u00e9rieure.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Contenus des enseignements Semestre 3 Semestre 4 Remarque UE7 Cette UE, typiquement constitu\u00e9e de deux parties, totalise 40 heures obligatoires. En fonction des deux parcours-types Physique math\u00e9matique et Optimisation et analyse appliqu\u00e9e, les cours correspondants peuvent se faire en commun avec, respectivement, le Master Physique th\u00e9orique et math\u00e9matique, physique des particules et astrophysique (P3TMA) d’Aix […]<\/p>\n","protected":false},"author":11,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ngg_post_thumbnail":0,"footnotes":""},"class_list":["post-80","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/80","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=80"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/80\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":357,"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/80\/revisions\/357"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.univ-tln.fr\/master-math\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=80"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}