Master 2ème année

Contenus des enseignements

Semestre 3

UE1. Algèbre d'opérateurs et théorie quantique - 4 ECTS -- 20h

(C-A. Pillet) C*-algèbres: définitions, analyse spectrale, représentations et états; W*-algèbres: topologies d'opérateurs, commutant; théorie de Tomita-Takesaki: opérateurs modulaires, groupe modulaire.

UE2. Analyse des EDP - 4 ECTS -- 20h

(A. Novotny) Espaces de Hilbert, projection orthogonale, espaces duals et théorème de représentation, convergence forte et faible, topologie faible, ensembles convexes fermés, lemme de Lax Milgram, théorème de Stampacchia, opérateurs compacts, théorie de Fredholm, espaces de Sobolev (densité, injections continues et compactes, traces), équations elliptiques du second ordre, formulation variationnelle, solutions faibles, inégalité d'énergie, alternative de Fredholm, régularité de solutions faibles, principe du maximum, valeur propres et vecteurs propres, méthode d'approximation de Galerkine.

UE3. Propriétés statistiques des systèmes dynamiques - 4 ECTS -- 20h

(S. Vaienti) Equations differentielles ordinaires: étude qualitative, étude complet des systèmes linéaire en dimension quelqueconque, classifications des points d'équilibre, stabilité locales des puits, mes versions simples du théorème de Hartman-Grobman, preuve du théorème de Poincaré-Bendixons, flots sur le tôre, quelques notions de calcul des bifurcations; systèmes dynamiques discrets: ensemble non-errants, mesures invariantes, théorème de Krilov-Bogoliubov sur l'existence de mesures invariantes, récurrence: théorème de Poincaré,
quelques systèmes simples: rotations irrationnelles, dynamique symbolique et décalage de type fini, systèmes de Bernoulli et de Markov avec les mesures correspondantes, preuve de leur invariance; ergodicité et mélange: définitions, preuve du théorème De Birkhoff, ergodicité de quelques systèmes simples: rotations, automorphisms du tôre, systèmes fibrés, systèmes symboliques; mélange; introduction à la théorie spectrale de l'opérateur de Perron-Frobenius; entropie: exposants de Lyapunov, dimensions, esquisse de la théorie de l'entropie et des exposants de Lyapunov en dimension 2, introductions à l'analyse fractale et ses liens avec la dynamique; propriétés statistiques: théorèmes limites, théorème de la limite centrale, grandes déviations, théorie des extrêmes; introduction aux systèmes dynamiques aléatoires.

UE4. Algèbre appliquée - 4 ECTS -- 20h

(Y. Aubry) Corps finis: rappels de théorie des corps, constructions des corps finis, théorème de Wedderburn, endomorphisme de Frobenius, factorisation de polynômes, classes cyclotomiques, équations sur les corps finis, symboles de Legendre et Jacobi, loi de réciprocité quadratique; géométrie algébrique: espaces projectifs, courbes algébriques projectives absolument irréductibles lisses définies sur un corps fini, genre d'une courbe plane, points rationnels, fonction zêta, Hypothèse de Riemann, bornes de Serre-Weil.

UE5. Analyse spectrale et dynamique quantique - 4 ECTS -- 20h

Partie 1 (A. Panati). Rappels sur les opérateurs compacts, Opérateurs fermés, adjoint d'un opérateur, extension autoadjointe, calcul de Dunford, Theorème de Stone, famille spectrale pour un opérateur autoadjoint, nature du spectre.

Partie 2 (P. Briet). Théorie des perturbations: caractérisation des opérateurs autoadjoints, opérateurs relativement bornés, opérateurs relativement compacts, Theorème de Kato Rellich. Localisation spectrale des opérateurs autoadjoints; spectre essentiel (caractérisation de Weyl), spectre discret. Théorème de stabilité de Weyl. Théorie des perturbations régulières.

UE6. Analyse numérique - 4 ECTS -- 20h

(T. Champion) On s'intéresse à l'analyse numérique de problème d'optimisation convexe sous contrainte (égalité et inégalité) en dimension infinie. Après des rappels et compléments de résultats d'existence aux problèmes de minimisation, des algorithmes sont proposés pour converger vers la solution du problème d'optimisation. Les équations de la mécanique des fluides sous contraintes d'écoulement incompressible sont traitées par la construction de Lagrangiens dont le point selle est la solution du problème. Les algorithmes issus de l'optimisation sont comparés aux méthodes de projection et des méthodes hybrides sont alors construites. La mise en oeuvre numérique fait l'objet de projets.

UE7. Séminaire / Langue - 6 ECTS

Séminaire étudiant - 2 ECTS

Il s'agit d'une exercice de présentation d'un petit chapitre de livre ou article de recherche, ou d'une modélisation proposé par un enseignant en coplément des cours.

Anglais scientifique - 3 ECTS -- 18h

Ce cours a pour but de développer les cinq compétences d'anglais: compréhension orale, expression orale, interaction orale, compréhension écrite, expression écrite. Pour ce faire, il sera demandé aux étudiants d'effectuer des exposés oraux sur un sujet relatif à l'anglais scientifique (des précisions seront apportées au premier cours, auquel il est indispensable d'assister) et de débattre sur ces sujets. De même, le travail évoluera autour de thématiques scientifiques exploitées à travers le prisme de vidéo et de documents écrits en anglais. Une participation active et, à l'évidence, l'assiduité des étudiants sont nécessaires à la réussite de cette UE.

Techniques de recherche d'emploi - 1 ECTS - 10h

Module mutualisé avec les autres Masters, assuré par le Service d’Accompagnement en Orientation et Insertion (SAOI).

Semestre 4

UE8. Recherche / thèmes avancés - 10 ECTS -- 40h

Ce module comprend deux parties, chacune consacrée à une thématique récente de recherche des laboratoires CPT et IMATH.

Analyse appliquée - 5 ECTS -- 20h

Contrôle géométrique

(F. Chittaro) Contrôlabilité, contrôle optimal.

Physique mathématique - 5 ECTS -- 20h

Méthodes topologiques en physique quantique

(J. Asch) Théorème du dégre classique et théorème de Gauss Bonnet; Théorème de Poincaré Hopf; Operateurs de Fredholm; Opérateurs de Toeplitz, théorème de Fritz Noether; Propriétes spectrales et transport; Transport topologique; Modèles unitaires sur réseau.

UE9. TER ou stage - 20 ECTS

La durée du TER (Travail Encadré de Recherche) du M2 est de 4 mois. Il s’effectue principalement dans un des deux laboratoires d’accueil qui sont le CPT (sur le campus de La Garde et sur le campus de Luminy à Marseille) et l’IMATH (sur le campus de La Garde) ou, comme stage, dans une entreprise extérieure.

Remarque sur l’UE Recherche / thèmes avancés (UE8)

Cette UE, typiquement constituée de deux parties, totalise 40 heures obligatoires. En fonction des deux parcours-types Physique mathématique et Analyse appliquée, les cours correspondants peuvent se faire en commun avec, respectivement, le Master Physique théorique et mathématique, physique des particules et astrophysique (P3TMA) d’Aix Marseille Université, avec le Master Mathématiques d’Aix Marseille Université et de l’Université de Nice, et avec l’école d’ingénieurs SeaTech.

Informations sur le TER (UE9)

La durée du TER (Travail Encadré de Recherche) du M2 est de 4 mois. Il s’effectue généralement dans un laboratoire de recherche universitaire, principalement dans un des deux laboratoires d’accueil qui sont le CPT (sur le campus de La Garde et sur le campus de Luminy à Marseille) et l’IMATH (sur le campus de La Garde) ou, comme stage, dans une entreprise extérieure.