Master 2e année

Contenus des enseignements

Semestre 3

UE1. Théorie des opérateurs - 5 ECTS -- 20h

(W. Aschbacher) C*-algèbres: définitions, analyse spectrale, représentations et états;
W*-algèbres: topologies d'opérateurs, commutant;
théorie de Tomita-Takesaki: opérateurs modulaires, groupe modulaire.

UE2. Analyse variationnelle des EDP - 5 ECTS -- 20h

(A. Novotny) Espaces de Hilbert, projection orthogonale, espaces duals et théorème de représentation, convergence forte et faible, topologie faible, ensembles convexes fermés, lemme de Lax Milgram, théorème de Stampacchia, opérateurs compacts, théorie de Fredholm, espaces de Sobolev (densité, injections continues et compactes, traces), équations elliptiques du second ordre, formulation variationnelle, solutions faibles, inégalité d'énergie, alternative de Fredholm, régularité de solutions faibles, principe du maximum, valeur propres et vecteurs propres, méthode d'approximation de Galerkin.

UE3. Systèmes dynamiques - 5 ECTS -- 20h

(S. Vaienti) Equations differentielles ordinaires: étude qualitative, étude complet des systèmes linéaire en dimension quelqueconque, classifications des points d'équilibre, stabilité locales des puits, mes versions simples du théorème de Hartman-Grobman, preuve du théorème de Poincaré-Bendixons, flots sur le tôre, quelques notions de calcul des bifurcations; systèmes dynamiques discrets: ensemble non-errants, mesures invariantes, théorème de Krilov-Bogoliubov sur l'existence de mesures invariantes, récurrence: théorème de Poincaré,
quelques systèmes simples: rotations irrationnelles, dynamique symbolique et décalage de type fini, systèmes de Bernoulli et de Markov avec les mesures correspondantes, preuve de leur invariance; ergodicité et mélange: définitions, preuve du théorème De Birkhoff, ergodicité de quelques systèmes simples: rotations, automorphisms du tôre, systèmes fibrés, systèmes symboliques; mélange; introduction à la théorie spectrale de l'opérateur de Perron-Frobenius; entropie: exposants de Lyapunov, dimensions, esquisse de la théorie de l'entropie et des exposants de Lyapunov en dimension 2, introductions à l'analyse fractale et ses liens avec la dynamique; propriétés statistiques: théorèmes limites, théorème de la limite centrale, grandes déviations, théorie des extrêmes; introduction aux systèmes dynamiques aléatoires.

UE4. Corps finis et leurs applications - 5 ECTS -- 20h

(Y. Aubry) Corps finis: rappels de théorie des corps, constructions des corps finis, théorème de Wedderburn, endomorphisme de Frobenius, factorisation de polynômes, classes cyclotomiques, équations sur les corps finis, symboles de Legendre et Jacobi, loi de réciprocité quadratique; géométrie algébrique: espaces projectifs, courbes algébriques projectives absolument irréductibles lisses définies sur un corps fini, genre d'une courbe plane, points rationnels, fonction zêta, Hypothèse de Riemann, bornes de Serre-Weil.

UE5. Analyse spectrale - 5 ECTS -- 20h

(P. Briet) Opérateurs densément définis, opérateursfermés (fermeture), adjoint d'un opérateur fermé,
extension autoadjointe d'opérateurs symétriques, éléments spectraux pour un opérateur
fermé (autoadjoint); localisation spectrale des opérateurs autoadjoints; spectre discret,
caractérisation de Weyl du spectre essentiel; mesures spectrales: définition, théorème spectral, spectre absolument continu; opérateurs relativement bornés, opérateurs relativement compacts, théorème de stabilité de Weyl.

(M. Rouleux) Théorie des perturbations: stabilité du spectre d'un opérateur auto-adjoint;
dimension finie: séries de Puiseux; généralités: perturbations régulières, exemple de perturbation du spectre continu par un potentiel négatif de carré intégrable, perturbations singulières, exemple de l'oscillateur anharmonique; séries de perturbations (cas régulier): familles analytiques de type A, théorème de Kato-Rellich, perturbations de l'état fondamental, séries de Rayleigh-Schrödinger, application au spectre de l'atome d'Helium; perturbations singulières: notion de série asymptotique,
technique de Rayleigh-Ritz, retour à l'oscillateur anharmonique.

UE6. Analyse numérique - 5 ECTS -- 20h

(C. Galusinski)
On s'intéresse à l'analyse numérique de problème d'optimisation convexe sous contrainte (égalité et inégalité) en dimension infinie. Après des rappels et compléments de résultats d'existence aux problèmes de minimisation, des algorithmes sont proposés pour converger vers la solution du problème d'optimisation. Les équations de la mécanique des fluides sous contraintes d'écoulement incompressible sont traitées par la construction de Lagrangiens dont le point selle est la solution du problème. Les algorithmes issus de l'optimisation sont comparés aux méthodes de projection et des méthodes hybrides sont alors construites. La mise en oeuvre numérique fait l'objet de projets.


(C. Galusinski - 2014/15)
Ce cours (Equations aux dérivées partielles de la Physique) commun entre le Master de Mathématiques et l'école d'ingénieurs SeaTech aborde diverses EDP telles que les équations de la chaleur, les équations de la mécanique des fluides, les ondes de surface... Pour les diverses classes d'EDP rencontrées (equations paraboliques, équations hyperboliques, équations dispersives), des méthodes numériques sont proposées et implémentées sur machine.

Semestre 4

UE7. Options - 10 ECTS -- 40h

Option 1 - 5 ECTS -- 20h

Méthodes de dualité en  transport optimal

(G.Bouchitte) Le but de ce cours est d'illustrer comment l'analyse fonctionnelle classique (notamment l'analyse convexe et la théorie de la dualité) peut permettre de résoudre certains problèmes célèbres en transport optimal. Après avoir rappelé quelques outils de base en théorie de la mesure et en analyse fonctionnelle, je vais considérer une classe de problèmes de transport optimal dans R^d associés  à une fonction coût c(x,y): R^d x R^d -> [0,+infty] et pour lesquels un principe de dualité sera établi. Dans le cas quadratique c(x,y)= |x-y|^2, nous obtiendrons l'existence et l'unicité d'un transport optimal retrouvant le célèbre théorème de factorisation polaire de Y.Brenier. Nous donnerons aussi une formulation dynamique de ce problème.
Dans une seconde partie du cours , nous étudierons le cout de Monge c(x,y)=|x-y| et donnerons quelques éléments de construction des solutions (sous forme de plans de transport).
Si le temps le permet des applications récentes seront présentées:   inégalités isopérimétriques, optimation de forme, allocation optimale de ressources ...

Option 2 - 5 ECTS -- 20h

Méthodes géométriques et topologiques en physique quantique.

L'objectif de ce cours est de fournir aux étudiants quelques outils mathématiques utilisés en physique quantique.


Problèmes hyperboliques, volumes finis

(M. Ersoy) Lois de conservation, analyse théorique et numérique d'équations et systèmes d'équations hyperboliques (transport, Burgers, trafic, Saint-Venant, dynamique des gaz,...), existence et unicité, solutions faibles, solutions faibles entropiques, théorème de Kruzkhov, conditions de saut de Rankine-Hugoniot, critère de Lax, problème de Riemann, schémas numériques conservatifs, volumes finis d'ordre 1, stabilité numérique, consistance, monotonie, TVD, entropie, convergence, solveur de Riemann exacte et approché.

Introduction aux méthodes Monte-Carlo

(S. Maire - 2014/15) Concepts de base; rappels probabilités: loi des grands nombres, TCL; présentation de la méthode sur quelques exemples: calcul de volumes, d'intégrales, temps de sortie d'un graphe, options européennes; générateurs aléatoires de différentes lois: inversion, rejet; réduction de variance, Quasi-Monte Carlo, quantification; méthodes de Monte Carlo pour les diffusions; chaînes de Markov et différences finies pour le Laplacien; équation de Poisson en domaine borné: schéma d'Euler, marche sur les sphères; diffusion plus générales, problèmes d'évolution (équation de la chaleur); événements rares: méthode de splitting pour le calcul d'éléments propres principaux.

UE8. TER - 17 ECTS

La durée du TER (Travail Encadré de Recherche) du M2 est de 3 mois. Il s’effectue principalement dans un des deux laboratoires d’accueil qui sont le CPT (sur le campus de La Garde et sur le campus de Luminy à Marseille) et l’IMATH (sur le campus de La Garde) ou, comme stage, dans une entreprise extérieure.

UE9. Anglais scientifique - 3 ECTS -- 4h

Dans le cadre du mémoire de TER, outre la lecture de documents scientifiques en anglais, l'étudiant doit rédiger l'introduction de son mémoire en anglais, et faire une partie de son exposé dans cette langue.

Remarque UE7

Cette UE, typiquement constituée de deux parties, totalise 40 heures obligatoires. En fonction des deux parcours-types Physique mathématique et Optimisation et analyse appliquée, les cours correspondants peuvent se faire en commun avec, respectivement, le Master Physique théorique et mathématique, physique des particules et astrophysique (P3TMA) d’Aix Marseille Université, avec le Master Mathématiques d’Aix Marseille Université et de l’Université de Nice, et avec l’école d’ingénieurs SeaTech.

Informations TER (UE8)

La durée du TER (Travail Encadré de Recherche) du M2 est de 3 mois. Il s’effectue principalement dans un des deux laboratoires d’accueil qui sont le CPT (sur le campus de La Garde et sur le campus de Luminy à Marseille) et l’IMATH (sur le campus de La Garde) ou, comme stage, dans une entreprise extérieure.